弧着色竞赛图中的彩虹路核

对于弧着色有向图 $D$，定义其{\em 彩虹路核}为顶点集 $S$，使得 (i) $S$ 中任两个顶点在 $D$ 中不被彩虹路连接，且 (ii) $S$ 外的每个顶点都能通过 $D$ 中的彩虹路到达 $S$。本文中，我们证明判定一个弧着色竞赛图是否具有彩虹路核是 NP 完全的，其中{\em 竞赛图}是完全图的一个定向。此外，我们证明每个弧着色的 $n$ 顶点竞赛图，若其所有强连通的 $k$ 顶点子竞赛图（$3\leq k\leq n$）均至少以 $k-1$ 种颜色着色，则具有彩虹路核，且所需颜色数不可减少。