基于彩虹匹配的图包装问题核化

我们引入一种新的核化工具,称为彩虹匹配技术,它适用于为包装问题及其命中对应问题设计多项式核。我们的技术利用了[Graf, Harris, Haxell, SODA 2021]的强有力组合结果。我们将彩虹匹配技术应用于四个(有向)图包装或命中问题,即竞赛图三角形包装问题(TPT),其中我们寻求竞赛图中$k$个有向三角形的包装;竞赛图有向反馈顶点集问题(FVST),其中我们寻求一个大小不超过$k$的顶点(命中)集与竞赛图所有三角形相交;诱导2-路径包装问题(IPP),其中我们寻求图中$k$个长度为2的诱导路径的包装;以及诱导2-路径命中集问题(IPHS),其中我们寻求一个大小不超过$k$的顶点(命中)集与图中所有长度为2的诱导路径相交。[Fomin, Le, Lokshtanov, Saurabh, Thomassé, Zehavi. ACM Trans. Algorithms, 2019]首次证明了这些问题存在次二次核,其给出了前两个问题$O(k^{3/2})$个顶点与后两个问题$O(k^{5/3})$个顶点的核。在同一论文中,他们质疑这些界是否可被(最优地)改进为线性。受此问题驱动,我们应用彩虹匹配技术并证明TPT与FVST承认$k^{1+\frac{O(1)}{\sqrt{\log{k}}}}$个顶点的(几乎线性)核,且IPP与IPHS承认$O(k)$个顶点的核。