均匀着色随机扰动图中的彩虹子图

对于给定的 $\delta \in (0,1)$,随机扰动图模型定义为任意具有最小度 $\delta n$ 的 $n$ 顶点图 $G_0$ 与同一顶点集上的二项随机图 $\mathbf{G}(n,p)$ 的并。此外,我们说一个图若其每条边独立且均匀随机地着以来自 $\mathcal{C}$ 的颜色,则是用 $\mathcal{C}$ 中颜色均匀着色的。基于 McDiarmird 的耦合思想,我们提供了一个通用工具,用于处理在具有 $[(1+o(1))e(H)]$ 中颜色的均匀着色扰动 $n$ 顶点图中寻找图 $H=H(n)$ 的彩虹副本的问题。例如,我们的方法轻易地恢复了 Aigner-Horev 与 Hefetz 关于彩虹哈密顿环的结果,并改进了 Aigner-Horev、Hefetz 与 Lahiri 关于彩虹有界度生成树的结果。此外,使用不同方法,我们证明对任意 $\delta \in (0,1)$ 与整数 $d \ge 2$,存在 $C=C(\delta,d)>0$ 使得如下成立。令 $T$ 为最大度至多为 $d$ 的 $n$ 顶点树,且 $G_0$ 为满足 $\delta(G_0)\ge \delta n$ 的 $n$ 顶点图。则具有 $[n-1]$ 中颜色的均匀着色 $G_0 \cup \mathbf{G}(n,C/n)$ 以高概率包含 $T$ 的彩虹副本。这在颜色数与边概率方面(至多相差常数因子)均为最优。