竞赛解的查询复杂度

每对顶点之间恰好有一条有向边的有向图被称为竞赛图。寻找竞赛图的“最佳”顶点集是社会选择理论中一个被广泛研究的问题。竞赛解以竞赛图作为输入，并输出输入竞赛图的一个顶点子集。然而，在许多应用中，例如从给定的一组药物中选择最佳药物集，竞赛图的边是隐式给出的，且获知边的方向代价高昂。在这种情况下，我们希望通过“查询”尽可能少的边来获知最佳顶点集（根据某个竞赛解）。在本文中，我们针对常用的竞赛解精确研究了这一问题：给定对竞赛图 $T$ 的边的预言机访问，对于竞赛解 $f$，通过查询尽可能少的边来找到 $f(T)$。我们首先证明，竞赛图中的 Condorcet 非败者集可以通过仅查询 $2n-\lfloor \log n \rfloor -2$ 条边找到，并且这在下述意义上是紧的：寻找 Condorcet 非败者集的每个算法在最坏情况下至少需要查询 $2n-\lfloor \log n \rfloor -2$ 条边，其中 $n$ 是输入竞赛图中的顶点数。然后我们继续研究其他流行的竞赛解，并证明寻找 Copeland 集、Slater 集、Markov 集、两党集、未覆盖集、Banks 集和顶圈集的任何算法在最坏情况下必须查询 $\Omega(n^2)$ 条边。在积极的一面，我们能够绕过我们关于查询复杂度的强下界结果，证明如果输入竞赛图的顶圈集大小至多为 $k$，那么我们只需查询 $O(nk + \frac{n\log n}{\log(1-\frac{1}{k})})$ 条边即可找到上述所有竞赛解。