团团博弈中 Maker 的策略及其对 Beck 若干未解问题的解决

我们研究由 Chvatal 和 Erdos 引入的完全图边上的 Maker/Breaker 博弈。我们证明，在 $K_{N}$（即具有 N 个顶点的完全图）上进行的 (m:b) 团团博弈中，Maker 可以得到一个 $K_{q}$，其中 $q = (m/(\log_{2}(b + 1)) - o(1)) * \log N$，这部分解决了 Beck 提出的一个未解问题。此外，我们证明，在 N 足够大时于 $K_{N}$ 上进行的 (1:1) 团团博弈中，Maker 可以仅用 $2^{2q/3}$ 步得到一个 $K_{q}$，这改进了先前的最佳界并回答了 Beck 的一个问题。最后，我们考虑所谓的竞赛博弈。竞赛是一个有向图，其中每对顶点由一条单向有向边连接。竞赛博弈在 $K_{N}$ 上进行。在开始时，Breaker 固定一个具有 q 个顶点的任意竞赛图 $T_{q}$。随后 Maker 和 Breaker 轮流占据一条未被占据的边 e 并选择其两种可能方向之一。如果 Maker 的图包含目标竞赛图 $T_{q}$ 的一个副本，则 Maker 获胜；否则 Breaker 获胜。我们证明 Maker 在 $K_{N}$ 上以 $q = (1 - o(1))*\log_{2}(N)$ 赢得竞赛博弈，这支持了随机图直觉：对于由两名“聪明”玩家进行的博弈和由两名“随机”玩家进行的博弈，q 的阈值是渐近相同的。这最后一个结果解决了 Beck 的一个未解问题，该问题被列入其七个最令人尴尬的未解问题清单中。