图上的 Maker-Breaker 度量分辨博弈

设 $d(x,y)$ 表示顶点集为 $V$ 的图 $G$ 中顶点 $x$ 与 $y$ 间最短路径的长度。对正整数 $k$，令 $d_k(x,y)=\min\{d(x,y), k+1\}$ 且 $R_k\{x,y\}=\{z\in V: d_k(x,z) \neq d_k(y,z)\}$。若对相异的 $x,y\in V$ 有 $S \cap R_k\{x,y\} \neq\emptyset$，则集合 $S \subseteq V$ 是 $G$ 的\emph{距离-$k$ 分辨集}。本文研究图 $G$ 上由 Maker 与 Breaker 两名玩家交替选取未选顶点所进行的 maker-breaker 距离-$k$ 分辨博弈（MB$k$RG）。Maker 通过选取构成 $G$ 的距离-$k$ 分辨集的顶点而获胜，Breaker 则通过阻止 Maker 获胜而获胜。我们以 $O_{R,k}(G)$ 记 MB$k$RG 的结果。令 $\mathcal{M}$、$\mathcal{B}$ 与 $\mathcal{N}$ 分别记 Maker、Breaker 与先手在 MB$k$RG 中有必胜策略的结果。给定图 $G$，参数 $O_{R,k}(G)$ 是 $k$ 的非降函数，其值域为 $\{-1=\mathcal{B}, 0=\mathcal{N}, 1=\mathcal{M}\}$。我们给出图 $G$ 与 $k$ 的对，使得有序对 $(O_{R,k}(G), O_{R, k+1}(G))$ 实现集合 $\{(\mathcal{B}, \mathcal{N}),(\mathcal{B}, \mathcal{M}),(\mathcal{N},\mathcal{M})\}$ 中各元；我们提供图 $G$ 使得 $O_{R,1}(G)=\mathcal{B}$、$O_{R,2}(G)=\mathcal{N}$ 且对 $k\ge3$ 有 $O_{R,k}(G)=\mathcal{M}$。此外，我们得到关于 MB$k$RG 的一些一般性结果并研究在某些图类上进行的 MB$k$RG。