树上 Staller 获胜时的 Maker-Breaker 控制博弈

在图 $G$ 上进行的 Maker-Breaker 控制博弈中，Dominator 的目标是选出一个控制集，而 Staller 的目标是占据某个顶点的闭邻域。我们研究 Staller 能够获胜的情形。若 Dominator（相应于 Staller）先手，则 $\gamma_{\rm SMB}(G)$（相应于 $\gamma_{\rm SMB}'(G)$）表示 Staller 获胜所需的最少步数。对每一个正整数 $k$，我们刻画了满足 $\gamma_{\rm SMB}'(T)=k$ 的树 $T$，并证明了关于 $\gamma_{\rm SMB}'$ 的一个一般上界。设 $S = S(n_1,\dots, n_\ell)$ 为通过对具有 $\ell$ 条边的星依次将其各边分别细分 $n_1-1, \ldots, n_\ell-1$ 次所得到的细分星。除 $\ell\ge 4$ 且每个 $n_i$ 均为偶数外，我们在所有情形下确定了 $\gamma_{\rm SMB}'(S)$。当至少有两个奇数 $n_i$ 时得到最简公式：若 $n_1$ 和 $n_2$ 是其中两个最小的数，则 $\gamma_{\rm SMB}'(S(n_1,\dots, n_\ell))=\lceil \log_2(n_1+n_2+1)\rceil$。对于毛虫树，我们建立了 $\gamma_{\rm SMB}$ 与 $\gamma_{\rm SMB}'$ 的精确公式。