Maker-Breaker 统治游戏的分区策略

Maker-Breaker 统治游戏是一种在图上进行的两人位置游戏，玩家称为统治者和阻挡者。玩家交替选择尚未被选择的图的顶点。如果统治者所选顶点在某一时刻形成图的支配集，则统治者获胜。若统治者无法形成支配集，则阻挡者获胜。决定统治者是否拥有获胜策略已被证明是一个 PSPACE-complete 问题，即使限制在偶尔或二分图上也是如此。本文考虑基于将图分区为基本子图（其中统治者作为后手获胜）的统治者策略。使用由循环和边组成的分区（也称为完美 [1,2]-因子），我们证明统治者在正规图中总是获胜，并且决定统治者作为后手是否拥有获胜策略可以在外平面图和块图上以多项式时间内计算。随后，我们研究由具有两个普适顶点的子图组成的分区，这等价于考虑是否存在具有相邻对的配对支配集。我们证明在区间图中，统治者当且仅当存在此类分区时才获胜。特别是，这表明在区间图中，决定统治者作为后手是否拥有获胜策略在 NP 中。我们最终提供了一个时间复杂度为 $n^{k+3}$ 的算法，用于 $k$ 嵌套区间图（即最多包含每个区间嵌套一个区间的区间图）。