Staller 在 Maker-Breaker 控制博弈中的快速获胜策略

Maker-Breaker 控制博弈在图 $G$ 上由两名玩家进行,称为 Dominator 与 Staller,他们轮流选择此前未被选过的顶点。若 Dominator 的走步构成一个控制集,则 Dominator 获胜。若 Staller 走完顶点 $v \in V(G)$ 的闭邻域中所有顶点,则 Staller 获胜。Dominator 的快速获胜策略此前已被研究。本工作中,我们聚焦于 Staller 在博弈中有获胜策略的情形。我们引入不变量 $\gamma'_{\rm SMB}(G)$(相应地为 $\gamma_{\rm SMB}(G)$),其为最小整数 $k$,使得在 Dominator 的任意策略下,若 Staller(相应地为 Dominator)在图 $G$ 上先手,Staller 可通过走至多 $k$ 个顶点获胜。我们证明了 $\gamma_{\rm SMB}(G)$ 与 $\gamma'_{\rm SMB}(G)$ 的一些基本性质,并研究了这些参数在若干算子(如取图的 disjoint union 或删除割点)下的变化。我们证明不等式 $\delta(G)+1 \le \gamma'_{\rm SMB}(G) \le \gamma_{\rm SMB}(G)$ 恒成立,且对满足 $2\le r\le s\le t$ 的任意三个整数 $r,s,t$,存在图 $G$ 使得 $\delta(G)+1 = r$、$\gamma'_{\rm SMB}(G) = s$ 且 $\gamma_{\rm SMB}(G) = t$。我们给出了当 $G$ 为一条路,或为由一个圈与一条路的 disjoint union 通过添加一条连接边所得的 tadpole 图时 $\gamma'_{\rm SMB}(G)$ 的精确公式。