全控制游戏 $\frac{3}{4}$-猜想的进展

在本文中，我们继续研究文献[Graphs Combin. 31(5) (2015), 1453--1462]中引入的图上的全控制游戏，其中玩家 Dominator 和 Staller 轮流选择 $G$ 的顶点。所选的每个顶点必须严格增加被全控制的顶点数量，其中若两个顶点相邻则一个顶点全控制另一个顶点。这一过程最终产生 $G$ 的一个全控制集 $S$，其中每个顶点都被 $S$ 中的一个顶点全控制。Dominator 希望最小化所选顶点数，而 Staller 希望最大化它。图 $G$ 的游戏全控制数 $\gamma_{\rm tg}(G)$ 是指当 Dominator 先手且双方均最优博弈时所选顶点的数量。Henning、Klav\v{z}ar 和 Rall [Combinatorica, to appear] 提出了 $\frac{3}{4}$-游戏全控制猜想，该猜想指出：若 $G$ 是一个具有 $n$ 个顶点且每个连通分支至少包含三个顶点的图，则 $\gamma_{\rm tg}(G) \le \frac{3}{4}n$。在本文中，我们证明了该猜想对于同时满足以下两个条件的图类 $G$ 成立：$G$ 中相邻顶点的度和至少为 $4$，且 $G$ 中没有两个度为 $1$ 的顶点相距为 $4$。特别地，我们证明了通过采用贪心策略，Dominator 能在一个最小度至少为 $2$ 的图中以至多 $3n/4$ 步完成全控制游戏。