全连通控制博弈

图$G$上的（全）连通控制博弈由两名玩家Dominator和Staller按照标准（总）控制博弈进行，附加要求是游戏每一阶段所选顶点诱导出$G$的一个连通子图。若Dominator先手且双方均最优策略，则游戏中所选顶点数为$G$的（总）连通博弈控制数（$\gamma_{\rm tcg}(G)$）$\gamma_{\rm cg}(G)$。我们证明$\gamma_{\rm tcg}(G)\in \{\gamma_{\rm cg}(G), \gamma_{\rm cg}(G) + 1, \gamma_{\rm cg}(G) + 2\}$，并据此将$G$定义为第$i$类，若$\gamma_{\rm tcg}(G) = \gamma_{\rm cg} + i$，$i \in \{0,1,2\}$。我们构造了一个包含最小度至少为$2$的所有连通笛卡尔积图和连通直积图的第$0$类图大族。我们证明没有树是第$2$类，并刻画了第$1$类树。我们给出了一个第$2$类二部图的无限族。