图的笛卡尔积上的 Maker-Breaker 控制游戏

Maker-Breaker 控制游戏在图 $G$ 上由两名玩家 Dominator 和 Staller 进行。他们轮流选择 $G$ 中一个未被选过的顶点。若 Dominator 形成了一个控制集则 Dominator 获胜；若 Staller 占据了某个顶点的闭邻域中的所有顶点则 Staller 获胜。若 Dominator 先手则该游戏称为 \emph{D-game}，若 Staller 先手则称为 \emph{S-game}。若 Dominator 在 D-game（或 S-game）中获胜，则 $\gmb(G)$（或 $\gmb'(G)$）定义为在 Staller 任意策略下 Dominator 获胜所需的最少步数。类似地，当 Staller 获胜时，$\gsmb(G)$ 和 $\gsmb'(G)$ 可以同样定义。我们确定了路径、星图和完全二部图的笛卡尔积上游戏的获胜方，以及获胜方获胜的速度。我们证明了在 $P_m \square P_n$ 上 Dominator 在 D-game 和 S-game 中均获胜，并在 $m=3$ 且 $3 \le n \le 5$ 时确定了 $\gmb(P_m \square P_n)$ 和 $\gmb'(P_m \square P_n)$。若 $G$ 和 $H$ 具有非平凡路径覆盖，则 Dominator 在两个游戏中均在 $G \square H$ 上获胜。此外，对任意正整数 $m, m', n, n'$，我们确立了 $K_{m,n} \square K_{m',n'}$ 上 D-game 和 S-game 的获胜方。我们给出了 $G$ 为星图之积时 $\gmb (G)$、$\gmb'(G)$、$\gsmb(G)$ 和 $\gsmb'(G)$ 的精确公式。