Maker-Breaker 全控制数

图$G$的Maker-Breaker全控制数$\gamma_{\rm MBT}(G)$被定义为：在Dominator拥有获胜策略且先手的情况下，他在Maker-Breaker全控制游戏中获胜所需的最少步数。Staller先手的Maker-Breaker全控制数$\gamma_{\rm MBT}'(G)$的定义类似。本文给出了$\gamma_{\rm MBT}(G)$和$\gamma_{\rm MBT}'(G)$的上界和下界，并证明了这些界是紧的。证明了对于任意满足$2\leq k\leq \ell$的整数对$(k,\ell)$，(i) 存在一个连通图$G$使得$\gamma_{\rm MB}(G)=k$且$\gamma_{\rm MBT}(G)=\ell$，(ii) 存在一个连通图$G'$使得$\gamma_{\rm MB}'(G')=k$且$\gamma_{\rm MBT}'(G')=\ell$，(iii) 存在一个连通图$G''$使得$\gamma_{\rm MBT}(G'')=k$且$\gamma_{\rm MBT}'(G'')=\ell$。这里，$\gamma_{\rm MB}$和$\gamma_{\rm MB}'$是Maker-Breaker控制游戏中的相应不变量。