Maker-Breaker 博弈在秩 3 超图上于多项式时间内得解
离散数学
2025-03-25 v3 组合数学
摘要
在 Maker-Breaker 位置博弈中, Maker 与 Breaker 轮流选取超图 的顶点, 当且仅当 Maker 占有 某条边的全部顶点时 Maker 获胜。判定博弈结果（即哪方有必胜策略）即便是限制在 5-一致超图上也是 PSPACE-完全的 (Koepke, 2025)。在秩 3 超图上, 针对两种子情形已获得结果的结构刻画与多项式时间算法: 其一由 Kutz (2005) 给出, 另一由 Rahman 与 Watson (2020) 给出, 他们猜想其结果应推广至所有秩 3 超图。我们通过基于若干关键子超图族交集的结果结构刻画, 以及双方最优策略的描述, 证明了该猜想, 并由此导出多项式时间算法。我们结构结果的另一推论是: 若 Maker 在秩 3 超图上有必胜策略, 则其能保证在轮数对数于顶点数的回合内获胜。注: 本文对一项被错误声称的类似结果 (arXiv:2209.11202, 定理 22) 给出了反例。
引用
@article{arxiv.2209.12819,
title = {Maker-Breaker is solved in polynomial time on hypergraphs of rank 3},
author = {Florian Galliot and Sylvain Gravier and Isabelle Sivignon},
journal= {arXiv preprint arXiv:2209.12819},
year = {2025}
}
备注
This paper provides a counterexample to a similar result which was incorrectly claimed (arXiv:2209.11202, Theorem 22)