图边集上 Maker-Breaker 游戏的复杂性

我们研究在一般图的边集上进行的 Maker-Breaker 游戏的算法复杂性。主要考虑完美匹配游戏和 $H$-游戏。Maker 在第一种游戏中若声称了完美匹配的边则获胜，在第二种游戏中若声称了固定图 $H$ 的一个副本则获胜。我们证明，判定完美匹配游戏和 $H$-游戏的获胜者均是 PSPACE-完全的，且对后者即便在 $H$ 为树的小直径图中也是。为寻找使 $H$-游戏为 PSPACE-完全的最小图 $H$，我们还证明了存在这样的 $H$，其阶为 51、大小为 57。随后我们给出关于 $H$-游戏的若干肯定结果。由于 $H$-游戏在 $H$ 为树时已是 PSPACE-完全，我们主要考虑 $H$ 属于树的子类的情况。特别地，我们设计了两种基于结构刻画的线性时间算法，用于判定一般图中 $P_4$-游戏的获胜者和树中 $K_{1,\ell}$-游戏的获胜者。进而我们证明，任意图中的 $K_{1,\ell}$-游戏以及树中的 $H$-游戏均是以游戏长度为参数的 FPT（固定参数可解），这显著增加了具有此性质的游戏短列表，其本身具有独立意义。另一个自然方向是考虑 $H$ 为圈时的 $H$-游戏。虽未能解决此情形，我们证明相关的 arboricity-$k$ 游戏可在多项式时间内求解。特别地，当 $k=2$ 时，Maker 若声称了任意圈的边则赢得此游戏。