Maker-Breaker幸福顶点游戏的复杂度
离散数学
2026-01-13 v1 计算复杂性
组合数学
摘要
给定一个c彩色图G，若其顶点的所有邻居均与其相同颜色，则该顶点称为幸福顶点。幸福顶点的概念由Zhang和Li提出用于计算图的同温度。Eto等人引入了Maker-Maker版本的幸福顶点游戏，其中两个玩家竞争来获得更多幸福顶点。我们在此引入Maker-Breaker幸福顶点游戏：两个玩家，Maker和Breaker，轮流使用各自的颜色为图的顶点着色。Maker旨在最终最大化幸福顶点的数量，而Breaker旨在阻止她。该游戏也是Duchene等人引入的Maker-Breaker支配游戏的一个计分版本，因为幸福顶点恰好对应于支配游戏中不被支配的顶点。因此，该游戏是图上非常自然的游戏，可在计分位置游戏的范围内进行研究。我们在此对该游戏的复杂度进行初始研究，通过证明在树上计算其得分是PSPACE-complete的，在蝴蝶结上是NP-hard的，在分割星形图上是多项式时间可解的。最后，我们给出了最大度为2的图的确切得分，并提供一个FPT算法用于计算最大区落多样性图的得分。本文的一个重要贡献是引入一种新的 incidences 图——称为2-SAT公式的文字-子句 incidences 图。我们证明了即使该图是无环的，QMAX 2-SAT仍保持PSPACE-complete，并且即使该图是无环且最大度为2的（即是路径的并），MAX 2-SAT仍保持NP-complete。我们通过证明Incidents——限制在森林上的计分位置游戏也是PSPACE-complete——展示了这一贡献的重要性。
引用
@article{arxiv.2601.07673,
title = {On the complexity of the Maker-Breaker happy vertex game},
author = {Mathieu Hilaire and Perig Montfort and Nacim Oijid},
journal= {arXiv preprint arXiv:2601.07673},
year = {2026}
}