关于 Maker-Breaker 图着色游戏单调性的注记

在 Maker-Breaker 顶点着色游戏中（由 Gardner 于 1981 年首次公开），Maker 与 Breaker 使用固定调色板交替为图顶点着色，且始终保持正常着色。Maker 旨在为整图着色，Breaker 旨在使某顶点无法被着色。我们关注以下由 Zhu 于 1999 年首次提出的问题：若 Maker 在可用 k 种颜色时获胜，其是否必在 k+1 种颜色时也获胜？该问题长期未决，吸引了大量关注并为许多类似游戏所重提。尽管我们无法解决顶点着色游戏的此问题，但我们可对 arboricity 游戏给出肯定回答，解决了 Bartnicki、Grytczuk 与 Kierstead 于 2008 年的一个问题。我们随后考虑如何着手顶点着色游戏的单调性问题，并研究一个相关游戏，其中顶点须按预定顺序着色。我们证明该“有序顶点着色游戏”不具有上述单调性性质，并讨论此事实对无序游戏的含义。最后，我们针对图着色游戏的一个连通版本相关的两个开放问题给出反例。