正常着色 Painter-Builder 博弈

我们考虑如下由正整数 $n$ 和 $k$ 参数化的两人博弈。该博弈在 Painter 和 Builder 之间进行，双方轮流行动，Painter 先行。博弈开始时，在 $n$ 个顶点上有一个空图。在每一轮中，Painter 用 $k$ 种颜色之一为她选择的一个顶点着色，而 Builder 则在两个先前未连接的顶点之间添加一条边。双方玩家都应保持博弈过程中图存在一个正常 $k$-着色。博弈在所有 $n$ 个顶点都被着色，或 Painter 没有合法操作时结束。在前一种情况下，Painter 获胜；在后一种情况下，Builder 获胜。我们证明了使 Painter 获胜的最小颜色数 $k=k(n)$ 与顶点数 $n$ 呈对数阶关系。本文还考虑了该博弈的偏向版本。