论 Client-Waiter 与 Waiter-Client 博弈的复杂性
组合数学
2024-09-04 v2
摘要
位置博弈由 Hales 和 Jewett 于 1963 年引入，并在 Erdos 和 Selfridge 于 1973 年发表了关于其与 Ramsey 理论和超图着色之间联系的首个结果后，其研究变得更加流行。这些博弈存在多种约定，其中最受欢迎的 Maker-Breaker 博弈由 Schaefer 于 1978 年证明是 PSPACE 完全的。随后其复杂性研究停滞了数十年，直到 2017 年 Bonnet、Jamain 和 Saffidine 证明了以移动次数为参数时 Maker-Breaker 是 W[1]-完全的。当 Rahman 和 Watson 在 2021 年通过证明 PSPACE-硬度对 6-一致超图成立从而改进了 Schaefer 的结果后，该研究得到了加强。最近，Galliot、Gravier 和 Sivignon 证明了在秩为 3 的超图上计算获胜者属于 P。本文聚焦于 Client-Waiter 和 Waiter-Client 约定。两者均由 Csernenszky、Martin 和 Pluhár 于 2011 年证明是 NP-hard 的，但针对这些约定既无完全性结果也无正面结果。在本文中，我们通过证明前者是 PSPACE-完全的（即使限制在 6-一致超图上），并为后者提供以其最大边大小为参数的 FPT-算法，完成了对这些约定的研究。特别地，对于任意固定整数 k，Waiter-Client 博弈的获胜者可以在 k-一致超图上于多项式时间内计算得出。最后，为了寻找多项式结果与硬度结果之间的精确界限，我们聚焦于 Client-Waiter 约定下秩为 3 的超图的复杂性。我们提供了一种借助 NP 预言机在多项式时间内运行的算法。
引用
@article{arxiv.2407.06777,
title = {On the complexity of Client-Waiter and Waiter-Client games},
author = {Valentin Gledel and Nacim Oijid and Sébastien Tavenas and Stéphan Thomassé},
journal= {arXiv preprint arXiv:2407.06777},
year = {2024}
}