随机整数集上的Maker-Breaker Rado博弈

给定维度为 $\ell \times k$ 的整数值矩阵 $A$ 与维度为 $\ell$ 的整数值向量 $b$，整数集 $X$ 上的 Maker-Breaker $(A,b)$-博弈是指 Maker 与 Breaker 轮流从 $X$ 中声明此前未被声明的整数，Maker 的目标是获得方程组 $Ax=b$ 的一个解，而 Breaker 的目标是阻止此事。当 $X$ 是 $\{1,\dots,n\}$ 的随机子集，其中每个数以概率 $p$ 独立包含时，我们针对一大类矩阵与向量确定了博弈为 Maker 或 Breaker 获胜的阈值概率 $p_0$。该类包含但不限于所有使 $Ax=b$ 对应单一线性方程的 $(A,b)$ 对。Maker 获胜的论断也扩展到远更广泛的矩阵类，包括满足 Rado 划分定理的那些矩阵。