含根式方程的 Maker-Breaker Rado 游戏

我们研究双人位置游戏，其中 Maker 和 Breaker 轮流从 $\{1,2,\ldots,n\}$ 中选择一个先前未被占用的数。若 Maker 所选的数包含方程 $$x_1^{1/\ell}+\cdots+x_k^{1/\ell}=y^{1/\ell}$$ 的解（其中 $k$ 和 $\ell$ 为整数且 $k\geq2$、$\ell\neq0$），则 Maker 获胜；若 Breaker 能阻止 Maker，则 Breaker 获胜。令 $f(k,\ell)$ 为使得当 $x_1,\ldots,x_k$ 不必互异时 Maker 有获胜策略的最小正整数 $n$，令 $f^*(k,\ell)$ 为使得当 $x_1,\ldots,x_k$ 互异时 Maker 有获胜策略的最小正整数 $n$。当 $\ell\geq1$ 时，我们证明对所有 $k\geq2$ 有 $f(k,\ell)=(k+2)^\ell$ 且 $f^*(k,\ell)=(k^2+3)^\ell$；当 $\ell\leq-1$ 时，我们证明 $f(k,\ell)=[k+\Theta_k(1)]^{-\ell}$ 且 $f^*(k,\ell)=[\exp(O_k(k\log k))]^{-\ell}$。我们的证明使用了初等组合论证以及数论与算术 Ramsey 理论中的结果。