(a:b) Maker-Breaker 最小度、连通性与哈密顿性游戏中的渐近最优阈值偏置

我们研究了在完全图 $K_n$（具有 $n$ 个顶点，$n,a,b \in \mathbb{N}$）的边上进行的 $(a:b)$ Maker-Breaker 子图游戏，其中 Maker 的目标是构建特定固定子图 $H$ 的拷贝。在本工作中，该子图为具有最小度 $k=k(n)$ 的 Spanning 图、连通的 Spanning 图或哈密顿子图。在 $(a:b)$ 游戏中，每轮中 Maker 选择 $a$ 条未获得的所有权的边，而 Breaker 选择 $b$ 条未获得的所有权的边。若 Maker 成功构建所考虑的子图的拷贝，则 Maker 获胜，否则 Breaker 获胜。对于 $k$ 最小度游戏，我们提出了一种导致该界限的获胜策略，这一界限概括了 Gebauer 和 Szab{\'o} 对于 $(1:b)$ 情形的界限。此外，我们给出了在 $a=o\left(\sqrt{\frac{n}{\ln(n)}}\right)$ 且 $k=o(\ln(n))$ 时 $b >(1+o(1)) \frac{an}{a+\ln(n)}$ 情况下的 Breaker 的显式策略。注意到该界限与 Hefetz 等人 (2012) 对于 $(a:b)$ 连通性游戏所提出的 Maker 界限相同，这表明该游戏的渐近最优偏置为 $\frac{an}{a+\ln(n)}$。这解决了这些作者所提出的开放问题。我们还研究了 $(a:b)$ 哈密顿性游戏，其中 Maker 的目标是创建哈密顿子图。对于 $(1:b)$ 变体，Krivelevich 证明了 $\left(1+o(1) \right)\frac{n}{\ln n}$ 为精确阈值偏置。通过控制 Breaker 的顶点度在 $(a:b)$ Maker-Breaker 最小度游戏中，我们能够获得 $(a:b)$ 游戏的渐近最优广义阈值偏置，无论是 $a=o\left(\sqrt{\frac{n}{\ln n}} \right)$ 还是 $a=\Omega\left(\sqrt{\frac{n}{\ln n}} \right)$。