寻找国王和强国王的难度

有向图中的国王是一个顶点 $v$，使得每个其他顶点都可以通过长度至多为 2 的路径从 $v$ 到达。众所周知，每个竞赛图（每条边都有方向的完全图）至少有一个国王。我们在这项工作中的贡献是：- 我们证明了在任意 $n$ 顶点有向图中确定国王存在性的查询复杂度为 $\Theta(n^2)$。这与输入为竞赛图的情况形成鲜明对比，在竞赛图中，Shen、Sheng 和 Wu [SICOMP'03] 表明可以在 $O(n^{3/2})$ 次查询内找到一个国王。- 为了增加竞赛图赢家定义中的“公平性”，Ho 和 Chang [IPL'03] 将强国王定义为这样的国王 $k$：对于每个支配 $k$ 的顶点 $v$，从 $k$ 到 $v$ 的长度为 2 的路径数严格大于从 $v$ 到 $k$ 的长度为 2 的路径数。我们证明了在竞赛图中寻找强国王的查询复杂度为 $\Theta(n^2)$。这否定了 Biswas、Jayapaul、Raman 和 Satti [DAM'22] 的一个问题。我们证明中的一个关键组成部分是设计特定的竞赛图，其中每个顶点都是国王，并分析这些竞赛图的某些性质。我们认为这些构造和性质本身具有独立的意义，并可能引出关于竞赛图解的更有趣的结果。