一种锦标赛表示理论

现实世界中的锦标赛几乎总是非传递的。近期工作指出，假设$d$维节点表示的参数化模型可有效建模非传递锦标赛。然而，关于由任意固定$d$维表示所生成的锦标赛类的结构，目前一无所知。本工作中，我们发展了一种用于理解参数化锦标赛表示的新理论。我们的首要贡献是从结构上刻画由$d$维表示生成的锦标赛类。我们通过证明这些锦标赛类具有必然为翻转类（flip class）之并的禁构型来实现这一点，翻转类是一种对全体锦标赛集合进行划分的新方式。我们进一步完全刻画了秩为$2$的锦标赛，证明相关的禁翻转类仅含$2$个锦标赛。具体而言，我们证明秩$2$锦标赛等价于局部传递锦标赛。该洞见使我们能证明此类锦标赛上的最小反馈弧集问题可使用标准Quicksort过程求解。对于一般秩$d$锦标赛类，我们证明大小为$\mathcal{O}(\sqrt{d})$的锥化双正则锦标赛（coned-doubly regular tournament）相关的翻转类必为禁构型。为回答对偶问题，利用\cite{forster}的著名结论，我们给出表示$n$个节点上所有锦标赛所需最小维数的$\mathcal{O}(\sqrt{n})$下界。对任意给定锦标赛，我们给出最小表示维数的一个新上界，其依赖于与该锦标赛相关的翻转类的任意反馈弧集中不同节点数的最小规模。我们展示了我们的结果如何也阐明矩阵符号秩（sign-rank）的上界。