竞赛图、约翰逊图与NC教学

不久前一种被称为“无冲突教学”（No-Clash Teaching，简称NC-Teaching）的教学模型被提出，并在如下强意义下被证明是最优的。首先，它满足Goldman与Matthias的无共谋条件。其次，NC教学维度（=NCTD）小于或等于任意其他无共谋教学模型下的教学维度。已有结果表明，任何定义于大小为n的论域上且NC教学维度为d的概念类至多含有$2^d \binom{n}{d}$个概念。本文的主要结果如下。首先，我们将NC教学维度为1的极大概念类刻画为以非常自然方式由竞赛图（=完全有向图）所诱导的类。其次，我们证明存在一族概念类$(\cC_n)_{n\ge1}$，其广为人知的递归教学维度（=RTD）随$n = |\cC_n|$对数增长，而对每个$n\ge1$，其NC教学维度均为1。由于有限概念类$\cC$的递归教学维度通常以上界$\log|\cC|$为界，该族$(\cC_n)_{n\ge1}$以最显著的方式将RTD与NCTD分离。该族存在性的证明运用了概率方法与随机竞赛图。第三，我们将前述上界$2^d\binom{n}{d}$改进了$\sqrt{d}$阶的因子。该更优界的验证用到了约翰逊图与不含大窄团的最大子图。