具有强 $S_k$ 性质的最小锦标赛及其对示教学习的启示

如果一个锦标赛对于任意 $k$ 个选手的集合，都存在另一个选手击败他们所有人，则称该锦标赛具有 $S_k$ 性质。具有此性质的最小锦标赛在 20 世纪 60 年代和 70 年代初已得到很好的探索。在本文中，我们定义了 $S_k$ 性质的一个强化版本，称之为“强 $S_k$ 性质”。我们首先证明，关于较弱概念的若干基本结果对于较强概念仍然成立（且相应证明的修改仅需很少的额外努力）。其次，我们证明了较强概念在示教（Teaching）领域具有应用。具体而言，我们给出了一个无限的概念类族，该族中的所有概念类均可在无冲突示教模型（No-Clash model）中通过单个示例进行示教，而为了在递归示教模型中示教该族的一个类 $\cC$，则需要 $\log|\cC|$ 数量级的示例。这是第一篇提出一个具体且易于构造的概念类族的论文，该族以超过常数因子的差距分离了无冲突示教模型与递归示教模型。这种对数因子的分离是显著的，因为已知对于任何概念类 $\cC$，递归示教维度以 $\log |\cC|$ 为界。