Sink 平衡与学习在博弈中的吸引子

刻画学习动力学的极限行为——即吸引子——是博弈论中最 fundamental 的开放问题之一。近期的研究工作曾推测，复制子动态的吸引子与博弈的 sink 平衡（即博弈偏好图的强连通分量）之间存在一一对应关系，并证明了它们至少存在一对多的对应关系。本文指出，一对一猜想是错误的。在三个定理中我们驳斥了这一猜想：第一个定理驳斥了更强的猜想形式，而较弱形式则分别在两人博弈和 N 人 (N>2) 情况下被驳斥。通过展示猜想为何失败，我们勾勒了 characterizing replicator 吸引子面临的挑战，并引入新的理念以解决这些问题。所有三个反例都来源于一种称为 local source 的对象——一种位于 sink 平衡内部但'局部排斥'的点；我们证明 local source 的缺失是 one-to-one 属性成立的必要条件，但非充分条件。我们还补充了充分条件：我们引入一种称为 pseudoconvexity 的 sink 平衡的局部性质，证明当 two-player 博弈的 sink 平衡具有 pseudoconvexity 时，它们恰好定义了吸引子。Pseudoconvexity 推广了之前已知的情形——如零和博弈和潜在博弈——其中该猜想成立，并以图谱性质重新表述这些情形。