最优无共谋教学

从教师处学习的形式化模型需要遵循某些准则以避免共谋。最被广泛接受的共谋自由概念由 Goldman 和 Mathias（1996）提出，并且已研究了多种遵循其准则的教学模型。对于每个模型 $M$ 和每个概念类 $\mathcal{C}$，参数 $M$-$\mathrm{TD}(\mathcal{C})$ 指的是概念类 $\mathcal{C}$ 在模型 $M$ 中的教学维度——定义为在 $\mathcal{C}$ 中所有概念的最坏情况下，教授一个概念所需的示例数量。本文引入了一种新的教学模型，称为无冲突教学（no-clash teaching），以及相应的参数 $\mathrm{NCTD}(\mathcal{C})$。无冲突教学被证明在强意义下是最优的：给定任意概念类 $\mathcal{C}$ 和任意遵循 Goldman 与 Mathias 共谋自由准则的模型 $M$，均有 $\mathrm{NCTD}(\mathcal{C})\le M$-$\mathrm{TD}(\mathcal{C})$。我们还研究了仅从正例学习的相应概念 $\mathrm{NCTD}^+$，建立了关于 $\mathrm{NCTD}$ 和 $\mathrm{NCTD}^+$ 的有用界，并讨论了这些参数与 VC 维以及样本压缩的关系。除了构建最优的无共谋教学模型外，我们的主要结果涉及判定对于给定的 $\mathcal{C}$ 和 $k$ 是否有 $\mathrm{NCTD}^+(\mathcal{C})=k$（或 $\mathrm{NCTD}(\mathcal{C})=k$）的计算复杂性。我们证明了某些此类判定问题等价于二部图中特定约束匹配的存在性问题。我们针对后者给出的 NP 困难结果在约束图匹配研究中具有独立意义。