竞赛图的孪生支配数

设 $D=(V,A)$ 为一个有向图。若对每一点 $v\in V-S$，存在顶点 $u_1,u_2 \in S$ 使得 $(v,u_1)$ 和 $(u_2,v)$ 均为 $D$ 中的弧，则称 $V$ 的子集 $S$ 为 $D$ 的孪生支配集。 $D$ 中孪生支配集的最小基数称为 $D$ 的孪生支配数，记为 $\gamma ^{*}(D)$。图 $G$ 的上可定向孪生支配数定义为 $DOM^{*}(G)=\max\{ \gamma ^{*}(D)|D \ \text{is an orientation of G} \}$。已有猜想：对于完全图 $K_n$（$n\geq 8$）， $DOM^{*}(K_n)=\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil$。本文中我们证明 $DOM^{*}(K_8)= DOM^{*}(K_9)= 4$，并建立了 $DOM^{*}(K_n)$ 的新上界，从而反驳了上述对所有 $n \geq 8$ 的猜想。