Erdős-Sands-Sauer-Woodrow 猜想的一个证明
组合数学
2017-03-24 v1
摘要
Bárány 和 Lehel 的一个非常漂亮的结果断言：R^d 中的每个有限子集 X 都可以用 f(d) 个 X-盒覆盖（即每个盒在 X 中有两个对蹠点）。如 Gyárfás 和 Pálvölgyi 所示，这一结果可从以下猜想推出：如果一个锦标赛的弧集合可以划分为 k 个拟序，则其支配数可用 k 来界定。这个问题反过来又由 Erdős-Sands-Sauer-Woodrow 猜想蕴含：如果锦标赛 T 的弧用 k 种颜色着色，则存在一个至多含 g(k) 个顶点的集合 X，使得对于 T 的每个顶点 v，都存在一条从 X 到 v 的单色路径。我们给出了该陈述的一个简短证明。我们进一步证明，一般的 Sands-Sauer-Woodrow 猜想（作为特例它蕴含稳定婚姻定理）对稳定数有界的有向图成立。然而该猜想总体上仍未解决。
引用
@article{arxiv.1703.08123,
title = {A proof of the Erd\H{o}s-Sands-Sauer-Woodrow conjecture},
author = {N. Bousquet and W. Lochet and S. Thomassé},
journal= {arXiv preprint arXiv:1703.08123},
year = {2017}
}