单色规避路径、特殊竞赛图与关联几何

我们讨论 Loh 近期提出的一个问题：在 $N$ 个顶点的 3-着色传递竞赛图中，是否必然存在一条顶点长度至少为 $N^{2/3}$ 的单色规避路径？该问题推广了关于单调子序列的 Erdős–Szekeres 定理。首先，我们定义了此类竞赛图的三种规范变换，分别称为着色、记录与对偶。利用这些变换，我们将问题归约为具有自然几何与组合性质的特殊竞赛图。在许多情形（包括所有已知的紧例子）中，这些竞赛图具有递归的 Gallai 分解。并非所有相关竞赛图都具有 Gallai 分解，但那些具有该分解的竞赛图，根据 Wagner 近期的工作（大致类似于 Fox、Grinshpun 和 Pach 在类似无向问题上的早期工作），确实满足所需的 $N^{2/3}$ 界。其次，我们考虑相关的几何问题，即界定切片递增集合 $S\subseteq [n]^3$ 的大小——在 $S$ 满足一个额外排序假设的条件下，Loh 证明该问题等价于原问题。特别地，我们建立了与 Szabó 和 Tardos 的一个问题的严格联系，提出了一个关于切片计数的更强的 $L^2$-问题，并指出了与 joints 问题的一个令人惊讶的重叠。