图上的距离和及到欧氏空间的嵌入

设 $G=(V,E)$ 为一有限连通图。我们考虑一种顶点的贪心选取：给定顶点列表 $x_1, \dots, x_k$，取 $x_{k+1}$ 为到已有顶点距离和最大的任一顶点并迭代：我们不断加入“最远端”顶点。图中顶点在该序列中出现的频率收敛到一组具有良好性质的概率测度。这些测度的支撑，在一般情形下，由相当少的顶点数 $m \ll |V|$ 给出。我们证明这暗示图 $G$ 至多是“$m$ 维”的，通过给出一个具有良好性质的显式 $1-$Lipschitz 嵌入 $\phi: G \rightarrow \ell^1(\mathbb{R}^m)$。