图谱谱间隙的Nordhaus--Gaddum问题

设G是一个拥有n个顶点的图，$\overline{G}$为其补图。图的随机行走过渡概率矩阵的谱间隙用于估算随机行走达到稳态的速度。我们证明了G和$\overline{G}$中较大的谱间隙为$\Omega(1/n)$。此外，若所有度数均为$\Omega(n)$且$n-\Omega(n)$，则G和$\overline{G}$中较大的谱间隙为$\Theta(1)$。我们还表明若最大度为$n-O(1)$或G为两个图的联合图，则G的谱间隙为$\Omega(1/n)$。最后，我们提供了一个由连通补图组成的连通图族，使得G和$\overline{G}$中较大的谱间隙为$O(1/n^{3/4})$。