John随机游走

我们提出了一种仿射不变的随机游走,用于从凸体 $\mathcal{K} \subset \mathbb{R}^n$ 中抽取均匀随机样本,该游走使用最大体积内接椭球(即John椭球)作为提议分布。我们的算法利用在当前点处 $\mathcal{K}$ 的对称化的John椭球上的均匀采样进行步进。我们证明从热启动出发,该随机游走在 $\widetilde{O}(n^7)$ 步内混合,其中对数因子仅依赖于与热启动和所需到均匀性的总变差距离相关的常数。我们还证明了从任意固定点 $x$ 出发的多项式混合界,使得对于包含 $x$ 的 $\mathcal{K}$ 的任意弦 $pq$,$\left|\log \frac{|p-x|}{|q-x|}\right|$ 由上界为 $n$ 的多项式所界定。