随机行走最大值的精确渐近分析

我们考虑一维离散时间随机游走。在每个时间步，行走者跳跃的距离独立且服从任意对称密度函数。我们证明，对于大n，随机游走前n步的期望正最大值为E[M_n]/\sigma=\sqrt{2n/\pi}+ \gamma +O(n^{-1/2})，其中\sigma^2为步长的方差。虽然leading \sqrt{n}行为是普适的且易于推导，但leading 修正项竟为一个非平凡常数\gamma。对于[-1,1]上均匀分布的特殊情况，Coffmann等人通过精确枚举冗长的双重级数计算得到\gamma=-0.516068...。本文给出一个适用于任意对称分布的闭式精确公式。我们还展示了\gamma如何在热力学极限中表现为差分变量E[M_n]-E[|x_n|]的leading行为，其中x_n为行走者在n步后的位置。指出将这些结果应用于 Rouse 聚合链的平衡热力学。我们还推广了结果至Lévy随机游走。