非负整数上对称最近邻游走的最大值

我们考虑原点处具有反射边界的一维离散对称随机游走。我们求出了在 $n$ 步后位于位置 $x$ 且在此期间游走者达到的最大位置为 $a$ 的二维概率分布 $P\{S_n = x, \max_{1\le j\le n} S_j = a\}$ 的生成函数。我们还得到了 $S_n = x$ 的熟悉（边缘）一维分布，但更重要的是得到了 $\max_{1\le j\le n} S_j = a$ 在固定 $a^2/n$ 下的渐近分布。我们能够计算并比较这两个一维分布的期望和方差，发现它们在定性上形式相似，但在定量上以预期的方式存在差异。