步长收缩的随机游走

我们概述一维对称随机游走的基本性质,其中第 n 步的步长等于 lambda^n,且 lambda<1。当步数 N-->oo 时,端点位于 x 的概率 P_{lambda}(x;N) 趋于极限分布 P_{lambda}(x),该分布具有许多优美特征。对 lambda<1/2, P_{lambda}(x) 的支撑集为康托集。对 1/2<=lambda<1,存在可数无穷个 lambda 值使 P_{lambda}(x) 奇异,而对其余几乎所有 lambda 值 P_{lambda}(x) 是光滑的。在最有趣的情形 lambda=(sqrt{5}-1)/2=g 中, P_g(x) 布满奇点且具显著自相似性。我们利用自相似性导出概率测度 M(a,b)= int_a^b P_g(x) dx 的简单形式。