固定、随机与收缩步长随机游走的相似性与自相似性

在本文中，我们首先对随机游走（RW）问题给出综合性描述，聚焦于自相似性、动态标度及其与扩散现象的关联。我们工作的主要目标之一是检验RW问题在不同步长选择下的鲁棒性。我们表明，具有随机步长或均匀收缩步长的RW与具有固定步长的RW完全相同。Krapivsky与Redner在2004年指出，具有几何收缩步长的RW（其第 $n$ 步的步长由 $S_n=\lambda^n$ 给出，其中 $\lambda<1$ 为固定值）展现出一些不同于固定步长RW的有趣特征。受此启发，我们探究若 $\lambda$ 不是固定数而是依赖于步数 $n$ 时会怎样？为此，我们首先为 $t=N$ 的RW生成 $N$ 个随机数，随后将其按降序排列，使得第 $n$ 步的步长为 $\lambda_n^n$。我们通过数值与解析证明，当 $\lambda_n=(1-n/N)$ 时，均方位移以 $t^{1/4}$ 增长，这不同于所有已知的RW问题结果。