Rademacher 随机漫步的复发、易歇与反集中性

与确定性序列 $(a_n)_{n \geq 1}$ 相关的 Rademacher 随机漫步是指从零点开始，在第 $i$ 步时以等概率独立向上或向下步幅 $a_i$ 的随机漫步。我们延续了 2023 年 Bhattacharya 和 Volkov 所著关于一维 Rademacher 随机漫步的易歇或复发问题的研究。具体而言，我们证明如果步幅序列有界，则随机漫步是弱复发的，即无限常返回随机有限区间；而如果步幅以任意慢的速度趋于无穷，则随机漫步可能是易歇的。另一方面，通过整数步幅的构造，我们证明步幅可以以任意快的速度增长，仍可能得到弱复发的随机漫步。我们还通过非整数步幅的构造，证明同样的结论甚至可以在严格递增步幅的限制下成立。然而，我们证明如果 $a_n = n^{\alpha + o(1)}$ 且 $\alpha > 1/2$，则随机漫步是易歇的。我们给出一个例子表明该下界是紧致的，即当 $a_n = \Theta(n^{1/2})$ 时，随机漫步是弱复发的。