半直线上线性边强化随机游走的几乎必然行为

我们研究 $\mathbb{Z}_+$ 上的线性边强化随机游走，其中每条边 $\{x,x+1\}$ 具有初始权重 $x^{\alpha} \vee 1$，并且每次一条边被穿越时，其权重增加 $\Delta$。已知该游走是常返的当且仅当 $\alpha \leq 1$。本文的目的是研究该游走在常返状态下的几乎必然行为。对于 $\alpha<1$ 和 $\Delta>0$，我们获得了一个极限定理，该定理对应于简单随机游走的重对数律。这揭示了 $\Delta>0$ 时的游走速度远慢于 $\Delta=0$ 时。在临界情况 $\alpha=1$ 下，我们对游走轨迹的（几乎必然）界表明，在 $\Delta=2$ 处存在速度的相变。