无限图上具有超线性强化机制的边强化与顶点强化随机游走

在本文中，我们引入了一种新的简单而强大的通用技术，用于研究具有超线性强化机制的边强化和顶点强化过程，该技术基于对边遍历次数和顶点遍历次数使用顺序统计量。该技术依赖于边遍历次数的上界估计，这些估计由 Cotar 和 Limic [Ann. Appl. Probab. (2009)] 在具有边强化的有限图的不同背景下证明。我们将新方法应用于任意有界度无限连通图上具有超线性强化机制的边强化和顶点强化随机游走。我们强调，与之前关于超线性强化过程的所有结果不同，我们对图没有做任何其他假设。对于边强化随机游走，我们完善了 Limic 和 Tarrès [Ann. Probab. (2007)] 的结果，并通过证明对于任何倒数可和的强化权重函数 w，该游走在所有充分大的时间均遍历一条随机吸引边，从而解决了 Sellke [Technical Report 94-26, Purdue University (1994)] 的一个猜想。对于顶点强化随机游走，我们扩展了 Volkov [Ann. Probab. (2001)]、Basdevant、Schapira 和 Singh [Ann. Probab. (2014)] 在 $\mathbb{Z}$ 上，以及 Benaim、Raimond 和 Schapira [ALEA (2013)] 在完全图上先前获得的结果。我们证明，在任意有界度的无限连通图上，当强化权重函数 w 取自一类一般的倒数可和强化权重函数时，该游走在所有充分大的时间均遍历两个随机的相邻吸引顶点。