梯图生成树上的有偏随机游走

我们考虑一个特定的随机图，其作为执行有偏随机游走的粒子的无序介质。取一个双侧无限水平梯图，并以某一边权 $c$ 选取随机生成树（对应竖直横档）。现在在该生成树上执行向右偏置 $\beta>1$ 的随机游走。与文献中考虑的其他随机图（随机渗流簇、Galton-Watson树）不同，该图允许基于图分解为独立片段的显式分析。我们给出了有偏随机游走速度作为偏置 $\beta$ 与边权 $c$ 二者函数的显式公式。我们得出结论：速度是 $\beta$ 的连续单峰函数，且当且仅当 $\beta < \beta_c^{(1)}$ 时为正，其中显式临界值 $\beta_c^{(1)}$ 依赖于 $c$。特别地，在 $\beta_c^{(1)}$ 处的相变为二阶。我们展示了在另一显式已知的临界值 $\beta_c^{(2)}<\beta_c^{(1)}$ 处发生另一二阶相变：对于 $\beta<\beta_c^{(2)}$，游走者停留于陷阱的时间具有二阶矩，且（在减去线性速度后）位置满足中心极限定理。我们看到 $\beta_c^{(2)}$ 小于使速度达到最大值的 $\beta$ 值。最后，关于线性响应，我们通过证明中心极限定理并计算方差，确认了无偏模型（$\beta=1$）下的爱因斯坦关系。