一维渗流模型中有偏随机游走速度的正则性

我们考虑无限梯图上条件边渗流模型的无限团簇上的有偏随机游走。Axelsson-Fisk 和 H\"aggstr\"om 为该模型建立了游走渐近线性速度 $\overline{\mathrm{v}}$ 的相变。即存在某个临界值 $\lambda_{\mathrm{c}}>0$，使得若 $\lambda\in (0,\lambda_{\mathrm{c}})$ 则 $\overline{\mathrm{v}}>0$，若 $\lambda>\lambda_{\mathrm{c}}$ 则 $\overline{\mathrm{v}}=0$。我们证明了速度 $\overline{\mathrm{v}}$ 在区间 $(0,\lambda_{\mathrm{c}})$ 上关于 $\lambda$ 连续，并在 $(0,\lambda_{\mathrm{c}}/2)$ 上可微。此外，我们将该导数刻画为一个协方差。为了证明 $\overline{\mathrm{v}}$ 在 $(0,\lambda_{\mathrm{c}}/2)$ 上的可微性，我们需要并证明了有偏随机游走的一个中心极限定理。另外，我们证明了中心极限定理在 $\lambda \geq \lambda_{\mathrm{c}}/2$ 时不成立。