对“随机网络上偏置随机游走的局域化相变”的评论

Sood 和 Grassberger 在 [Phys. Rev. Lett. 99, 098701 (2007)] 中研究了偏向固定目标点的随机图上的随机游走。他们提出了一个临界偏置强度 $b_c$，使得当 $b>b_c$ 时，无限图上的随机游走者最终以概率 1 到达目标，而当 $b<b_c$ 时，有限比例的游走会漂移至无穷远。他们依赖于在 Galton-Watson (GW) 树上偏置游走的严格结果来计算 $b_c$，并给出论证表明该结果也应适用于 Erdos-Renyi (ER) 图和 Molloy-Reed (MR) 图等随机图。为了验证他们的预测，他们通过数值模拟表明，有限 ER 图上的平均返回时间 (MRT) 作为图大小 $N$ 的函数，在预期的 $b_c$ 附近表现出相变。在此，我们表明 GW 树上的 MRT 实际上可以解析计算。这使我们能够 (i) 解析地证明 MRT 确实在 $b_c$ 处表现出相变，(ii) 阐明 MRT 对 $N$ 的依赖性，这与 [Phys. Rev. Lett. 99, 098701 (2007)] 中预期的 $b<b_c$ 时 $\propto N$ 的标度相矛盾。