一类常返随机游动临界行为的普适性

设 X_0=0, X_1, X_2, ... 是由一串独立同分布的整数值随机变量 xi_1, xi_2, ... 生成的非常返随机游动，其公共分布 p(.) 具有零均值与有限方差。对于 N 步轨道 X=(X_0,X_1,...,X_N) 与单调凸函数 V: R^+ -> R^+ 且 V(0)=0，定义 V(X)= sum_{j=1}^{N-1} V(|X_j|)。进一步，令 I_{N,+}^{a,b} 为所有满足边界条件 X_0=a, X_N=b 的非负路径 X 的集合。我们讨论当 N -> infinity 且 lambda -> 0 时，I_{N,+}^{a,b} 中 X 关于概率分布 P_{N}^{a,b}(X)= (Z_{N}^{a,b})^{-1} exp{-lambda V(X)} prod_{i=0}^{N-1} p(X_{i+1}-X_i) 的渐近性质，其中 Z_{N}^{a,b} 为相应的归一化常数。若 V(.) 在无穷远处增长不快于多项式，定义 H(lambda) 为方程 lambda H^2 V(H) =1 的唯一解。我们的主要结果表明，当 lambda -> 0 时，X_{[alpha N]} 的典型高度以 H(lambda) 为尺度，且沿 X 的关联在尺度 H(lambda)^2 上指数衰减。利用合适的分块论证，我们证明重标度高度的分布尾部以临界指数 3/2 指数衰减。在线性势 V(.) 的特殊情形下，特征长度 H(lambda) 当 lambda -> 0 时正比于 lambda^{-1/3}。