表示串联网络的约束随机游动的击中概率

设 $X$ 为 $\mathbb{Z}_+^d$（$d >2$）上的约束随机游动，其增量为 $e_1$、$-e_i+e_{i+1}$（$i=1,2,3,...,d-1$）和 $-e_d$，概率分别为 $\lambda$、$\mu_1$、$\mu_2$、...、$\mu_d$，其中 $\{e_1,e_2,..,e_d\}$ 为标准基向量。假设过程 $X$ 稳定，即对所有 $i=1,2,3,...,d$ 有 $\lambda < \mu_i$。令 $\tau_n$ 为 $X$ 各分量之和首次等于 $n$ 的时刻。我们推导了概率 ${\mathbb P}_x(\tau_n < \tau_0)$ 的近似公式。对于 $x \in \bigcup_{i=1}^d \Big\{x \in {\mathbb R}^d_+: \sum_{j=1}^{i} x(j) > \left(1 - \frac{\log \lambda/\min \mu_i}{\log \lambda/\mu_i}\right) \Big\}$ 以及初始点序列 $x_n/n \rightarrow x$，我们证明近似的相对误差随 $n$ 指数衰减。近似公式形如 ${\mathbb P}_y(\tau < \infty)$，其中 $\tau$ 为极限过程 $Y$ 的各分量之和首次为 $0$ 的时刻；$Y$ 是从出口边界上一点观测的 $X$ 过程，只是其第一分量不受约束（特别地 $Y$ 是不稳定过程）；$Y$ 与 ${\mathbb P}_y(\tau< \infty)$ 作为 $X$ 的仿射变换及概率 ${\mathbb P}_x(\tau_n < \tau_0)$ 的极限自然出现。相对误差的分析基于上鞅的一种新构造。我们推导了 ${\mathbb P}_y(\tau < \infty)$ 关于比值 $\lambda/\mu_i$ 的显式公式，该公式基于调和系统及其解的概念以及过程 $Y$ 相关的特征曲面上的共轭点；公式的推导假设对 $i\neq j$ 有 $\mu_i \neq \mu_j$。