关于$\mathbb{Z}^d$上陷阱模型的动力学

我们考虑$\mathbb{Z}^d$上的陷阱模型，即$\mathbb{Z}^d$上的连续时间马尔可夫跳跃过程，其嵌入链由一般离散时间随机游走给出，且在$x$处的平均等待时间为$\tau_x$，其中$\tau = (\tau_x, x \in \mathbb{Z}^d)$是一族独立同分布的正随机变量，位于$\alpha$-稳定律的吸引域中，$0<\alpha<1$。我们可以将$x$视为陷阱，$\tau_x$视为陷阱在$x$处的深度。我们关注陷阱过程，即将时间$t$与当前访问陷阱的深度相关联的过程。我们的第一个结果是该过程在适当标度下律的收敛性。极限过程由某个$\alpha$-稳定从属过程的跳跃在另一个与第一个从属过程相关的$\alpha$-稳定从属过程的逆时刻给出。对于该结果，嵌入随机游走的要求是：a) 其范围的大数定律成立，以及b) 其返回原点时间的分布尾部在无穷远处缓慢变化：这些条件包括所有暂态随机游走、所有平面随机游走以及许多一维随机游走。然后，我们推导出该过程的时效结果，即其某些双时相关函数的标度极限，其强形式需要比a、b更强的暂态性假设。上述标度极限结果是关于$\tau$的平均结果。在嵌入随机游走两个独立副本的范围交集大小（粗略地说，与范围大小相比很小）的额外条件下，我们推导出更强的标度极限结果，粗略地说，该结果关于$\tau$依概率成立。在该额外条件下，我们还将时效结果从上述平均版本加强为关于$\tau$依概率收敛。