随机游走对随机游走的钉扎：一个猜想的证明

在文献[3]中，研究了 $\mathbb{Z}^d$（$d \geq 1$）上不可约、对称且非常返的随机游走的两个独立副本之碰撞局部时之生成函数的收敛半径。考虑了两个版本：$z_1$，即对其中一个游走取平均而另一个保持固定时的收敛半径；$z_2$，即对两个游走均取平均时的收敛半径。虽然 $z_2$ 易于计算，但 $z_1$ 没有显式表达式。文献[3]中猜想，在对随机游走的弱正则性假设下，$z_1 > z_2$。然而，该间隙仅对强非常返随机游走得到了证明。随后，在文献[1]、[4]和[5]中，该间隙对一类非常返但非强非常返的随机游走的子类得到了证明。在本文中，我们解决了该完整猜想。证明基于对文献[3]中导出的 $z_1$ 和 $z_2$ 的变分公式的比较。在对随机游走的附加弱正则性假设下，我们导出了 $z_1$ 的一个上界。我们进一步表明，当随机游走具有指数等待时间时，该间隙依然存在。这些间隙意味着，对于具有钉扎相互作用的两随机游走模型，存在一个中间相。如文献[3]中所解释，它们还意味着三类相互作用随机系统存在中间相：耦合分支过程、相互作用扩散和具有体无序的有向聚合物。