关于三维随机游走钉扎模型的临界点

我们考虑文献 [3,2] 中研究的随机游走钉扎模型：这是一个在 $Z^d$ 上的随机游走 $X$，其分布被 $\beta$ 乘以 $L_N(X,Y)$（即到时间 $N$ 为止与另一个 $d$ 维随机游走的（淬火）轨迹 $Y$ 的碰撞局部时）的指数所修正。如果 $\beta$ 超过某个临界值 $\beta_c$，则对于典型的 $Y$ 实现，两个游走会粘在一起（局域相）。一个自然的问题是，无序是否相关，即淬火系统和退火系统是否具有相同的临界行为。Birkner 和 Sun 证明了，如果空间维度 $d=1$ 或 $d=2$，则 $\beta_c$ 与退火随机游走钉扎模型的临界点一致；而在维度 $d\ge4$ 时，两者不同（对于 $d\ge5$，该结果也在文献 [2] 中得到证明）。在此，我们考虑边缘维度 $d=3$ 这一开放情况，并证明了临界点的不一致性。