超度量空间中渗流簇上随机游动的暂留与常返

我们研究阶为 $N$ 的层次群（一个超度量空间）中渗流的存在性，以及渗流簇上随机游动的暂留与常返。层次群上两个相距距离 $k$ 的点的连接概率形式为 $c_k/N^{k(1+\delta)}, \delta>-1$，其中 $c_k=C_0+C_1\log k+C_2k^\alpha$，$C_0, C_1, C_2$ 为非负常数，且 $\alpha>0$。Dawson 与 Gorostiza (2013) 证明了当 $\delta<1$ 以及临界情形 $\delta=1,C_2>0$ 且 $\alpha>2$ 时的渗流。本文通过证明 $\alpha>0$ 时的渗流改进了临界情形的结果。我们以一种新的、更贴合模型本质的方式使用了前一篇论文中的重正化方法。证明涉及超度量随机图（在引言中描述）。关于渗流簇上简单（最近邻）随机游动的结果为：在 $\delta<1$ 情形下游动是暂留的；在临界情形 $\delta=1, C_2>0,\alpha>0$ 下，存在临界值 $\alpha_c\in(0,\infty)$ 使得当 $\alpha<\alpha_c$ 时游动常返，当 $\alpha>\alpha_c$ 时游动暂留。证明涉及图直径、路径长度与电路理论。并与一维欧几里得格子上长程渗流簇上随机游动的行为作了一些比较。